Lab 9-1: CComplex 的應用與 Mandelbrot 圖形界面

這個程式會顯示 Mandelbrot 碎形圖形如下圖:

這個碎形圖形其實是根據複數平面上每個複數點的一個特別性質畫出來的, 對於任意一個複數 c, 我們可以定義一個複數數列 z₀ = 0, z_i = (z_i-1)² + c, 如果我們規定複數 z_i 的實部或是虛部的絕對值超過 2 就稱為 "發散", 對於每一個複數 c 來說都會有一個 i, 只要大於這個 i, z_i就會發散, 如此每一個 c 都有一個對應的 i, 將這些 i 值在視窗中用不同的顏色表示出來就出現上面這張圖, 例如上圖中草綠色的部份的那些點所對應的 i 值都是相同的, 可能是 2 或 3 吧。

在使用 Microsoft Foundation Class (MFC) 製作視窗界面時, 我們常用一個 TRACE 巨集來取代 cout, TRACE 的用法和 printf 很像, 相信你還沒有忘記怎樣用 printf, 例如:

    TRACE("m_data=%d\n", m_data);
    TRACE("m_doubleData=%f\n", m_doubleData);

如果你用 debug 模式(偵錯/開始偵錯 F5)執行的話, 會跑到 output 視窗中, 如果你是正常執行(偵錯/啟動但不偵錯 Ctrl-F5)的話, 可以開啟 dbwin32 程式來顯示偵錯的結果

接下來我們介紹如何一步一步地產生這個碎形圖形, 首先你需要把繪圖區域對應到複數平面, 例如將畫面上 500 x 500 像素 (pixel) 的區域對應到複數平面上 (-1.65, -1.15)-(0.65, 1.15) 的方形區域上,

    int i, j;
    Complex c;
    double step = range / (windowSize-1);
    for (i=0; i<windowSize; i++)
        for (j=0; j<windowSize; j++)
            c = Complex(centerX-range/2.0+i*step, 
                        centerY+range/2.0-j*step);

接下來我們需要測試繪圖區域內每一個點, 看看在下列的測試公式下, 每一個 c 值發散的狀況:

    令複數 z 的初始值為 0+0i
    令每一個點的複數座標為 c
    
    重複計算
            z = z * z + c

    每次運算後, 如果 z 的實部或是虛部的絕對值超過 2
    的話, 就表示已經發散掉了, 此時請記錄由開始到
    發散需要計算上式幾次, 通常在前 50 次計算中,
    會發散的點就已經有百分之九十九都發散掉了, 
    剩下的也幾乎不會發散了

上面是一個很漂亮的圖形, 而且如果放大來看的話, 它會不斷重複類似的圖案, 請執行 Mandelbrot03a, 在自然界中這種圖形很多, 這種圖形也常常可以用簡單的數學公式描述出來

如果發散的條件改成 "當 z 的實部和虛部的絕對值都超過 2" 的話, 還是一個碎形圖形, 但是看起來感覺不太一樣:

請下載圖形界面程式碼 Mandelbrot02b.exe, 解壓縮出來, 請編譯並且執行, 你應該可以看到視窗中是全部空白的, 選單中有 檔案/MaxIteration 設定的選項, 這個選項可以讓使用者在操作的時候設定判斷一個點是否發散時需要測試的 i 值最大為多少, 我們將在這個 project 中應用你先前寫的 CComplex 類別來撰寫程式, 請下載你先前製作好的 CComplex 類別的程式碼

    class Mandelbrot  
    {
    public:
    	Mandelbrot(double centerX, double centerY, double range);
    	void generateData(int ** &data, 
    	                  int windowSize, 
    	                  int maxIterations);
    	void deleteData(int ** &data, int windowSize);
    private:
        ...
    };

你可以在

    Mandelbrot::Mandelbrot(double centerX, double centerY, double range) 
    {
    }

傳入建構元函式的參數是繪圖區域中心點的複數座標, 例如 (-0.5, 0), 以及繪圖區域的寬與高 (目前所畫的是一個方形區域), 例如 2.3, (你可以用 TRACE 敘述看一下), 傳進來的資料請在 Mandelbrot 類別中設計資料成員記錄下來

void generateData(int ** &data, int windowSize, int maxIterations);

這個成員函式應該要檢查傳入的指標, 如果是 0 的話, 動態配置一塊二維的整數 (int) 陣列, 其架構如下圖

記得修改後先把配置好的陣列每一個元素設成定值 (例如 data[i][j] = 10; 然後編譯和測試

在你真正去算 z 的運算式並且算出 data[i][j] 之前, 你可以先把 data[i][j] 設定成一些簡單的圖樣來測試一下, 例如 (直紋):

    for (i=0; i<windowSize; i++)
        for (j=0; j<windowSize; j++)
            data[i][j] = i%256;

    int i, j, min_i, min_j;
    for (i=0; i<windowSize; i++)
        for (j=0; j<windowSize; j++)
        {
            min_i = i<(windowSize-i) ? i : windowSize-i;
            min_j = j<(windowSize-j) ? j : windowSize-j;
            data[i][j] = min_i<min_j ? min_i : min_j;
        }

    CComplex add(const CComplex &rhs) const;
    CComplex multiply(const CComplex &rhs) const;

    z.multiplyEqual(z);
    z.addEqual(c)

    z = c.add(z.multiply(z));

    tmp = z.multiply(z);
    z = tmp.add(c);

函式中需要實作將步驟六中配置的二維陣列刪除的程式碼

一切順利的話你的執行畫面上應該可以看到 Mandelbrot 的顯示了

由於你在這個程式中有動態配置記憶體, 請特別在 dbwin32 視窗中確定一下程式結束時有沒有 memory leakage